试探“三等分角”问题的尺规作图法

　　试探“三等分角”问题的尺规作图法

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　　提要

　　一、 简介“三等分角”问题

　　二、 分析“三等分角”问题

　　三、 “三等分角”的尺规作图法

　　四、 证明

　　关键词

　　三等分角 尺规作图 作图公法

　　一、 简介“三等分角”问题

　　何谓“三等分角”？这就是只用直尺和圆规两种作图工具，将一个任意角分成三等分。直尺就是直，平滑，沒有刻度，不是米度尺。圆规即两脚规，它的两只脚可以伸缩，给定了圆心和半径，可以画一个圆，也可以画弧。再就是作图必须按照欧几里德的三条作图公法来作，不得违反，这就是“三等分角”。

　　“三等分角”是古希腊数学家在公元前五世纪提出来的，距今已过去二千五百多年了，在这二千五百多年中，有许多数学家和数学爱好者，都研究了这个问题。耗费了时间，耗尽了精力，总是失败，始终沒有成功。这个结果，好像是向人类智慧的一次挑战。

　　以上所说的，就是“三等分角”问题。

　　二、分析“三等分角”问题

　　三等分角这个命题很简单，很明确，一般的人都觉得可用尺规作图来完成，在这二千五百多年历程中，吸引了许许多多的数学家和数学爱好者，经久不息地研究，总是失败，沒有成功。就其原因，也很简单，也很平凡。那就是用的知识沒有对到口。即是说，哪那把钥匙开哪把锁，钥匙拿错了，那把锁就打不开。解题也是这样。

　　根据“三等分角”的含义来看，对作图工具作了限制，只能用圆规和直尺，其他工具不能用，否则，就是违规。因此，“三等分角”这道作图题只能在圆上完成，要在圆上作“三等分角”的图形，就必须研究这个图同弧、弦、中心角、圆周角的关系，找到解决问题的突破口。

　　（1）、图一，以O为圆心，以OA为半径画一个圆O。在圆周上取一点A，以点A为圆心，以AB为半径画弧，与圆O交于点C。以点C为圆心，以AB为半径画弧，与圆O交于点D。连接OA，OB，OC，OD，则∠AOB＝∠BOC＝∠COD，弧AB＝弧BC＝弧CD。连接AB，BC，CD，则弦AB＝弦BC＝弦CD，则∠AOD是一个任意角。

　　（2）、在点B的左侧靠近点B的位置任取一点E，在点C的左侧靠近点C的位置任取一点F。（具体情况，如图一所示）连接AE，EF，FD，则弧AE张弦AE，弧EF张弦EF，弧FD张弦FD。

　　弧AB张弦AB，弧BC张弦BC，弧CD张弦CD。

　　弧AB+弧BC+弧CD＝弧AD。

　　弧AE+弧EF+弧FD＝弧AD。

　　则 弧AB+弧BC+弧CD＝弧AE+弧EF +弧FD。

　　弦AB+弦BC+弦CD＝弦AE+弦EF+弦FD。①

　　用平移法，也可以证明这个问题。它更形象直观，如图二所示。

　　（3）、将（1）、（2）施行的方法继续进行下去，譬如在图一点B的左侧或右侧靠近点B的弧上取点E′，……，或点E〞，……。在图一点C的左侧或右侧靠近点C的弧上取点F′，……，或点F〞，……。我们有弦AE+弦EF+弦FD＝弦A E′+弦E′F′+弦F′D＝……＝弦AB+弦BC+弦CD。

　　有了这个式子，实际上就有了“三等分角”的作图法了。

　　三、“三等分角”的尺规作图法。

　　已知：∠AOB是一个任意角，求作：三等分∠AOB。

　　作法：

　　1、 在弧AB上任取一点G，点H。如图四所示。

　　2、 连接AG，GH，HB。

　　3、 将弦AG，GH，HB之和三等分。

　　（1）、画一直线L，把弦AG，GH，HB平移至L上，在L上取一点A，以点A为圆心，以AG为半径画弧，与L交于点G。以点G为圆心，以GH为半径画弧，与L交于点H。以点H为圆心，以HＢ为半径画弧，与L交于点B，则BH+HG+GA＝BA。

　　（2）、将ＢA三等分。②

　　Ⅰ、过点Ｂ作一直线BX。

　　Ⅱ、以点B为圆心，以BP为半径画弧，与BX交于点P，以点P为圆心，以BP为半径画弧，与BX交于点Q，以点Q为圆心，以BP为半径画弧，与BX交于点Ｒ。

　　Ⅲ、连接点Ａ与点Ｒ，过P作直线ＰＣ∥ＲＡ，与ＢＡ交于点C，过Q作直线ＱＤ∥ＲＡ，与ＢＡ交于点Ｄ。则ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ。

　　4、在图四上，以点Ａ为圆心，以图五ＢＣ为半径画弧,与弧ＡＢ交于点Ｃ,以点Ｃ为圆心,以图五ＣＤ为半径画弧,与弧ＡＢ交于点Ｄ,以点Ｄ为圆心,以图五ＤＡ为半径画弧,与弧ＡＢ交于点Ｂ,连接ＯＣ,ＯＤ,则∠AOＣ ＝∠ＣOＤ＝∠ＤOB。③

　　四、证明：

　　１、在图四上，弧AG+弧GH+弧HB＝弧AB

　　2、 在图四上，弧AC+弧CD+弧DB＝弧AB

　　则 弧AG+弧GH+弧HB＝弧AC+弧CD+弧DB

　　3、在图四上，弧AG张的弦AG，弧GH张的弦GH，弧HB 张的弦HB，弧AC张的弦AC，弧CD张的弦CD，弧DB张的弦DB。

　　根据《几何学辞典》436题：同圆或等圆中，等弧张等弦，不等之二劣弧中，大者张大弦。

　　438题：同圆或等圆中，等弦张等劣弧，及等优弧，二弦不等，则大弦张大劣弧及小优弧。

　　根据436题，438题的原理，则

　　弦AG+弦GH+弦HB＝弦AC+弦CD+弦DB

　　由作法3：

　　弦AC＝1/3（弦AG+弦GH+弦HB）

　　由作法4：

　　弦AC＝弦CD＝弦DB。

　　因此：弧AC＝弧CD＝弧DB。

　　又根据《几何学辞典》432题：同圆或等圆中，等中心角立于等弧上，中心角不等，则大中心角立于大弧上。

　　根据这个原理，则∠AOC＝∠COD＝∠COB。

　　证毕。

　　参考文献：《几何学辞典》 日本 长泽龟之助原著 薛德炯 吴载耀 编译 第76页，77页，78页，361页，362页。新亚书店出版 1935年4月

　　注：①《几何学辞典》第77－78页，434题，436题，438题。

　　②《几何学辞典》第361－362页，1692题，1693题。

　　③《几何学辞典》第76页，432题。

图1

图2

图3

图4

图5