尺规作图题

  过内心作面积等分线的方法:

1。作出内心I

2。取各边中点D,E,F,确定重心G,不妨设I在△CGE内

【I一定在三角形内部,在由重心,顶点,和顶点所在边的中点确定的某个三角形内(含边界)。假如I在△BGF,或△CGE内,那么一定可以作出一条与BF,CE相交过I的直线等分△ABC的面积,这里只为确定作图的方向,否则可能造成后面第5步没有交点】

3。

  连IE,AI,作∠ABP=∠AIE,BP交AI延长线于P

4。以AI为直径作圆,过P作圆切线PT,T为切点

5。以P为圆心,PT为半径作圆脚BF于M

[圆P与CE也交于N点,M。I。N共线]

直线MI(或者说MN)即为所求

那就补充个证明:不太相信有很简单的作法

(1)

AI平分∠BAC==∠BAP=∠IAE

∠ABP=∠AIE(作出)

==△ABP∽△AIE==AB*AE=AP*AI

PT是切线==PT^2=PI*PA==PM^2=PI*PA

==△PMI∽△PAM==∠PMN=∠PAM=∠PAN

==M。

  P。N。

  A共圆==∠APM=∠ANI

∠MAP=∠IAN

==△APM∽△ANI==AM*AN=AP*AI

==AM*AN=AB*AE=AB*1/2AC

S△ABC=1/2AB*AC*sinA,S△AMN=1/2AM*AN*sinA

==S△ABC=2S△AMN

即MN平分△ABC面积

(2)设内切圆半径为r,则S△ABC=1/2(a+b+c)r

I是内心,S△AMI=1/2AM*r,S△ANI=1/2AN*r

∴S△AMN=S△AMI+S△ANI=1/2(AM+AN)r

由(1)S△ABC=2S△AMN

∴1/2(a+b+c)r=(AM+AN)r

∴AM+AN=1/2(a+b+c)

即MN平分△ABC周长

由此可见,既平分面积又平分周长的直线一定过内心

那么有几条这样的直线呢?有兴趣的话可以继续研究