现代微积分对导数的矛盾定义：曲线的切线斜率无意义

　　现代微积分对导数的矛盾定义(3):曲线的切线斜率无意义

　　按照现代微积分中的导数定义，函数在某点的导数等于函数曲线(函数图像)在该点切线的斜率，要探究现代微积分对导数的定义究竟矛盾在哪里，就要寻本探源，查看一下曲线的切线斜率这一定义是否存在矛盾。

　　下面用图示的方法来进行详细解释:

　　如上图所示，在平面直角座标系上绘有一条函数曲线，P为曲线上的一个定点，Q1是曲线上与P邻近的一点，首先给出曲线上切线的定义:设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。

　　根据这个定义，令Q1沿着曲线无限地趋近于定点P，并最终做出曲线在P点的切线。

　　设p点的座标为P(xо，yо)，Q1座标为Q1(x1，y1)，令Q1沿曲线无限趋近于P，所经过的路线依次为Q2(x2，y2)，Q3(x3，y3)，Q4(x4，y4)……Qn(xn，yn)……，并且有:x1＞x2＞x3＞x4＞……xn＞xn＋1……。并且有y1＞y2＞y3＞y4……＞yn＞yn＋1……

　　做P点与各Q点之间的连线，令L1是(P，Q1)的延长直线，L2是(P，Q2)的延长直线，L3是(P，Q3)的延长直线，L4是(

　　P，Q4)的延长直线……Ln是(P，Qn)的延长直线……

　　于是有:PQ1＞PQ2＞PQ3＞PQ4＞……＞PQn＞PQn＋1……

　　可知，只要是有PQn＞0(即有xn－xо＞0并且yn－yо＞0)，则PQn的延长直线Ln必为曲线上的割线而不是曲线在p点的切线。

　　那么，在这种Q点无限趋近于P点的情况下，什么样的直线才是曲线在P点的切线呢?

　　根据无限趋近的思想，只有一种情况下才能做出曲线在P点的切线:假设在曲线上存在一点QT，QT的座标为QT(xt，yt)，当xt－xо＝0并且yt－yо＝0时(即此时割线的长度为0)，则(P，QT)的延长直线PT才是曲线在P点的切线。

　　根据上述的描述可知，点QT与点P是完全重合为一点的(即切线PT与曲线只有唯一的一个交点P)。

　　但此时求切线PT的斜率，却产生了一个极大的矛盾，根据斜率的计算公式:k＝(yt－yо)/(xt－xо)，如前所述，yt－yо＝0，xt－xо＝0，则曲线在P点的切线的斜率为k＝0/0，分母为0，无意义。

　　由于函数在P点的导数即为函数曲线在P点的切线斜率，既然函数曲线在P点的切线斜率k＝0/0无意义，则函数在p点的导数也为0/0无意义。

　　总结来说就是，连结曲线上P点与Q1，Q2，Q3……之间的连线，只要是PQn＞0，则PQn必为曲线的割线而不是切线(说明曲线的割线是无穷多的)，只有当PQT＝0时，PQT的延长线才是曲线在P点的切线(说明曲线在P点的切线是唯一的)，但此时求切线的斜率为k＝(yt－yо)/(xt－xо)＝0/0无意义，说明曲线在P点的切线斜率无意义同时也说明曲线在P点的导数无意义。