初中数学【近似数和平均数】知识点总结及练习

近 似 数

一个数与准确数相近，且比准确数略多或略少些,这一个数称之为近似数。

一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位止的所有数止。

如：我国的人口无法计算准确数目，但是可以说出一个近似数.比如说我国人口有13亿,13亿就是一个近似数。

有 效 数 字

与实际数字比较接近，但不完全符合的数称之为近似数。

对近似数，人们常需知道他的精确度。一个近似数的精确度通常有以下两种表述方式：

(1)用四舍五入法表述。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

(2)另外还有进一和去尾两种方法。用有效数字的个数表述。由四舍五入得到的近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字为止的数所有数字，都叫做这个数的有效数字。

精 确 度

近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。

（1）一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；

（2）规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求。

有效数字规则

有效数字注意：

①近似数的精确度有两种形式：精确到哪一位；保留几个有效数字；

②对于绝对值较大的数取近似值时，结果一般用科学计数法来表示，如：8 90 000（保留三个有效数字）的近似值，得8 903 000≈8.90×106。

③对带有计数单位的近似数，如2.3万，他有两个有效数字：2、3，而不是五个有效数字。

有效数字的舍入规则：

1、当保留n位有效数字，若后面的数字小于第n位单位数字的0.5就舍掉。

2、当保留n位有效数字，若后面的数字大于第n位单位数字的0.5 ，则第位数字进1。

3、当保留n位有效数字，若后面的数字恰为第n位单位数字的0.5 ，则第n位数字若为偶数时就舍掉后面的数字，若第n位数字为奇数加1。

如将下组数据保留三位

45.77=45.8 43.03=43.0

38.25=38.2 47.15=47.2

近似数规则

近似数的混合运算，可按运算顺序和近似数的计算法则分步计算，但中间运算的结果要比最后结果多取一位数字。

例：计算3.054×2.5－57.85÷9.21。

3.054×2.5－57.85÷9.21

≈3.05×2.5－57.85÷9.21

≈7.63－6.28≈1.4

根据已知数据，最后运算的结果要取两位数字，因此，中间运算的结果要取三位数字。

平 均 数

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标。

通常，平均数又可以分为算术平均数、几何平均数、调和平均数、加权平均数、平方平均数和指数平均数。

在统计工作中，平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。其公式为：总数量和÷总份数=平均数

平均数 规则

平均数符号

（1）平均数符号是什么?

比如说，x的平均数就可以写成在“x”这个字母上面写一条横线。

（2）平均数符号怎么打?

在word中可以用插入“公式”的方法输入，也可以用插入“域”的方法输入，以后者为好，与文字完全兼容。

平均数的分类

（1）算术平均数：算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标，公式为：平均数=(a1+a2+…+an)/n。

（2）几何平均数：n个正实数乘积的n次算术根，任意n个正数a1，a2 ，…，an的几何平均数不大于这n个数的算术平均数。

（3）加权平均数：若n个数x1，x2，……xn的权分别为w1，w2，……wn，则这n个数的加权平均数是(x1w1+x2w2+……+xnwn)/(w1+w2+……+wn)。

（4）调和平均数：调和平均数与算术平均数都是独立自成体系，因而数学调和平均数定义为数值倒数的平均数的倒数。

（5）平方平均数：是n个数据的平方的算术平均数的算术平方根。

平均数、中位数和众数关系

共同点

平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量。

平均数能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学上，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。

中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。

区别

只有在数据分布偏态(不对称)的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。

练 习

一、为了调查某一段的汽车流量，记录了30天中每天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有4天是284辆，4天是290辆，12天是312辆，10天314辆，那么这30天该路口同一时段通过的汽车平均数为（ ）。

二、下列说法，正确的是（　　）

A．一个游戏的中奖率是1%，做100次这样的游戏一定会中奖

B．为了解某品牌灯管的使用寿命，可以采用普查的方式

C．一组数据6，8，7，8，9，10的众数和平均数都是8

D．若甲组数据的方差s甲2=0.05，乙组数据的方差s乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定

三、某社区要调查社区居民双休日的学习状况，采用下列调查方式：

①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；

②从不同住宅楼中随机选取200名居民；

③选取社区内200名在校学生

（1）上述调查方式最合理的是______；

（2）将最合理的调查方式得到的数据制成扇形统计图（如图1）和频数分布直方图（如图2），在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有______人；

（3）请估计该社区2 000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．

答 案

一：306

二：C

三：（1）②；

（2）在家学习的所占的比例是60%，因而在家学习的人数是：200×60%=120（人）；

（3）在家学习时间不少于4小时的频率是：

24+50+16+36+6+10

200

=0.71．

该社区2 000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数是：2000×0.71=1420（人）．

估计该社区2000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数为1420人．

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