数列计算（中学数学竞赛讲义）

一．通项公式与递推公式：

例1. 求下列各数列的通项公式：

15，55，555，……

20，1，0，2，0，3，……

31，0，1/2，0，1/3，0，……

42，4，2，4，2，4，……

5a，b，a，b，a，b，……

例2. 已知x2+x+1=0，求xn+1/xn的值（n可任意的正整数）

解：由a1=x+1/x，可得an+2=-（an+an+1）（a1=-1，a2=-1）

例3. 意大利数学家斐波那契在1228年提出《兔子问题》如下：“假定一对兔子每一个月可以生一对兔子，并且兔子在出生两个月后具有生殖能力，问一年后可繁殖到多少对兔子？”

1试写出一年各月后的兔子数。

2指出这个数列的规律。

3这个数列的通项公式是什么？

解：1几月后 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

兔子的对数1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

2递推公式：Fn+1=Fn+Fn-1（F0=1，F1=1,n）

3经过数学家们的长期努力，终于找出F数列的通项公式是：Fn=1/[(1+/2)n+1-(1-)n+1]

可以证明：=-1/20.618

二．数列的增减性与有界性：

递增数列：对任意的自然数n，有an+1an

递减数列：对任意的自然数n，有an+1an

有节数列：存在一个整数M,使︱an︱,对任意的自然数n都成立。

例4.证明数列{n+1/n}是递减有界数列（故一定有极限），并求极限值

例5. 数列的通项an=n2/n2+1

10.98是不是它的一项

2证明{an}是递增有界数列（故一定有极限）并求极限值

三．等差数列与等比数列的一些重要性质：

1.等差中项：X,A,Y,成等差数列 A=X+Y/2

2.若an是等差数列，且m+n=k+l则am+an=ak+al（反之对吗？）

3.设{an}是公差为d的等差数列，则{Kan+C}是公差为Kd的等差数列。

4.等差数列的通项是项数的一次函数，前n项的和事项属的二次函数（反之对吗？）

5.等比中项X,G,Y,成等比 G2=XY

6.若{an}是等比数列，且m+n=k+l，则am.an=ak.al

7.设{an}是公比为q的等比数列，则{ank}是公比为qk的等比数列。

8.{bn}是各项为正的等比数列 {}是等差数列。

性质2、6可用通项公式证出。

性质3、7、8可用定义或通项公式两种方法证明。

例6.若{an}是等差数列，且a6+a9+a12+a15=20，求S20

解：由性质2可得a1+a20=10，所以S20=100

例7.如果等差数列的am+n=A,am-n=B,(A,B为已知)求am与an

解：由性质2，am=A+B/2

又am+n=am-n+2nd，d=A-B/2n故an=am+（n-m）d，an=am+（n-m）d=（2n-m）A+mB/2n

例8.试问数列2/4），……n-1/4）的前多少项的和的值最大。并求除这个最大值

解：（1）此数列可化为{2-1/2（n-1）}是递减的等差数列。要使和最大，则

an由此解得n=14

an+1 最大值约为14，30

（2）运用等差数列求和公式，化为二次函数的极值问题：Sn=（-1/4）n2+（2+1/4）当n13.78，所以n=14

四．给Sn求an的问题：

例9.已知数列1，2，4，……的前n项的和公式是Sn=an+bn2+cn3（c，求这个数列的通向公式，并确定a，b，c的值

四．证明问题：

例10 a2，b2，c2三数成等差数列，证明1/c+c，1/c+a，1/a+b三数成等差数列。

证明：（1）[用定义]只要证明1/c+a-1/b+c=1/a+b-1/c+a

证明：（2）[用等差中项]只要证明：1/a+b+1/b+c=2/c+a，注意不要忘了定义，要某些场合（如分式、三角函数式）相减便于变形化简。

例11等比数列a，ar，ar2…arn-1…的前n项之和味S，前n项之积为P，它们的倒数之和为T，求证：P2=(S/T)n

证明：由P=anrn（n-1）/2及T=rn+rn-2+…+r+1/arn-1=S/a2

rn-1可得

例12.求证=33…3（2n个1，n个2，n个3）

证明：（1）99…9（n个9）=10n-1可得。

（2）若设11…1(2n个1)=A，只要证明=3A

例13.不论正数a，b，c是等差数列，还是成等比数列，都有an+cn2bn（n+）

五．数列与二次方程根的判别式：

例14.若方程a（b-c）x2+b（c-a）x+c（a-b）=0有两个相等的实根，求证：1/a，1/b，1/c成等差数列。

例15.若（Z-X）2-4(X-Y)(Y-Z)=0,求证，X,Y,Z成等差数列

解：（1）展开已知条件并配方（Z+X-2Y）2=0

（2）令X-Y=a,Y-Z=b,X-Z=a+b代入条件可得（a-b）2=0

(3)二次方程 (X-Y)u2+(Z-X)u+（Y-Z）=0的判别式为0，所以x1=x2=1，再由韦达定理可得。

例16.若实数a1，a2，a3，a4都不为零，且满足

（a12+a22）a42-2a2（a1+a3）a4+a22+a32=0，求证：a1，a2，a3，成等比数列，且公比为a4

证明：（1）由判别式 =4 a22（a1+a3）2-4（a12+a22）（a22+a32）0，可得a22= a1 a3

再由 =0可得a4= a2/ a1

（2）由一只可得（a2- a1 a4）2+（a3- a2 a4）2=0

七．数列求和问题：

1.直接运用公式：

例17.计算log3（两种方法）

例18.把正奇数1，3，5，7，9，11…如下分组（1），（3，5），（7，9，11）…，试求第n组数之和与当前n组数的总和，并由证明13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2

解：因为前n组数共含奇数列的1+2+3+…+n=n（n+1）/2项

所以第n组数的最后一个数是2.n（n+1）/2-1=n2+n-1

故第n组数之和为（n2+n-1）n+n.（n-1）/2（-2）=n3而前n组数之和为1+3+5+…+（n2+n-1）=（n2+n/2）2

2.可以化为等差（比）数列求和：

关键是“化”字，其具体方法大致有合、拆、减、颠倒相加，错位相减等

例19.求和：

（x+1/x）2+（x2+1/x2）2+…+（xn+1/xn）2（合）

例20求5，55，555，…的前n项之和（拆）

例21.求1至200，这200个整数中，既不是2的倍数，又不是3的倍数的所求书的总和。（减）

例22求分母为3，包含在正整数m和n（m）之间的所有不可约得分数之和

解：分析m，m+1/3,m+2/3，m+1,m+4/3，…n-1/3，n，可用（减）（所有项之和减去可约项之和）合（两两结合而成等差数列）及颠倒相加等方法。

例231求和：（1.q+2.q2+3.q3+…+n.qn）q（q）

2求证：…4

3.某些特殊数列的求和：

例24.求和1，-3，5，-7，-11

例25求和（1）1/1*2+1/2*3+…+1/n（n+1）

（2）1/1*3+1/3*5+…+1/（2n-1）（2n+1）

（3）3/1*2*4+5/2*3*5+7/3*4*6+…+2n+1/n（n+1）（n+3）

解：（1）注意到1/k*（k+1）=1/k-1/k+1

（2）注意到1/（2k-1）（2k+1）=1/2（1/2k-1-1/2k+1）可求得和味n/2n+1

（3）注意到：2k+1/k（k+1）（k+3）=

1/k（k+3）+1/（k+1）（k+3）=1/3(1/k-1/k+3)+1/2(1/k+1-1/k+3)

原式=1/3（1+1/2+1/3-1/n+1-1/n+2-1/n+3）+1/2（1/2+1/3-1/n+2-1/n+3）=37/36-1/3（n+1）-5/6（n+2）-5/6（n+3）

习题

1.三个正数a，b，c既成等差数列，又成等比数列，求证a，b，c三数相等。

2.在两不等正数a和b之间，插入n个正数x1，x2，…xn成等比数列，求证：=

3.试求等差数列相邻三项的平方，饭别是等比数列相邻三项的条件。

4.求数列，，，…前n项之和（a）

5.有一数列3，5，9，15…它们的差是等差数列，求此数列的通项公式。

6.将偶数列2，4，6，8，10，12，…，如先分组（2），（4，6），（8，10）（8，10，12），…求第n组数之和与前n组的总和。

7.求证：1+1/1+2+1/1+2+3+1/1+2+3+…+n=2n/n+1

8.已知三角形的三边成等差数列，最大角与最小角相差90°，求证三角形的三边之比是-1：：+1

9.（1）设f（n）=2n+1（当n=1，2，3…）

g（n） 3（当n=1时）

f[g（n-1）]（当n）

求：g（n）的通项公式。

（2）又设h（n）= 3（当n=1时）

g[h（n-1）]（当n

时）

求h（n）的通项公式

10.已知△ABC的底边BC的中线为AM，直线GH与AB,AM,AC,分别交于D、E、F,求证：BD/AD,ME/AE,CF/AF成等差数列。